Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且滿足a₁=3，b₁=9，
a₂+b₂=33，S₃=2q²．
（1）求a_n與b_n
（2）設(shè)C_n=

3

anlog3bn

，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意可求得q=3，d=3，從而可求得a_n與b_n；
（2）由c_n=

3

anlog3bn

得，c_n=

3

3nlog33n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用列項(xiàng)相消法可求得T_n=1-

1

n+1

，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，對(duì)于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立?λ≥

n

(n+1)(n+4)

對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，利用基本不等式可求得

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，從而可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

a1+d+b1q=33 3(2a1+2d) 2 =2q2

，整理得

d+9q=30 9+3d=2q2

…3分
消去d得：2q²+27q-99=0，
解得q=3或q=-

33

2

（不合題意，舍去）…5分
當(dāng)q=3時(shí)，d=3，∴a_n=a₁+（n-1）d=3n…6分
b_n=b₁q^n-1=3ⁿ⁺¹…7分
由c_n=

3

anlog3bn

得，c_n=

3

3nlog33n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…8分
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

…10分
對(duì)于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立?

n

n+1

≤λ（n+4）?λ≥

n

(n+1)(n+4)

對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，..11分
∵

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

=

1

n+ 4 n +5

…12分
而n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

，即n=2時(shí)等號(hào)成立…13分
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

…14分
∴λ≥

1

9

，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[

1

9

，+∞）…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查裂項(xiàng)相消法、基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．