Question

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表達式；
（Ⅱ）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試討論當實數(shù)a、m滿足什么條件時，直線y=m和函數(shù)y=f（x）的圖象恰有k個公共點（k≥3），
且這k個公共點均勻分布在直線y=m上．（不要求過程）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）先設x≤-2，則-x≥2，再設，設x∈（-2，0），則-x∈[0，2），再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求；
（Ⅱ）分a＞2與a≤2進行討論可求；
（Ⅲ）結合函數(shù)的圖象進行討論，綜合可得答案．

解答： （Ⅰ）．設x≤-2，則-x≥2，
∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵f（x）偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=（x+a）（-x-2）=-（x+2）（x+a），
設x∈（-2，0），則-x∈[0，2），
∴f（-x）=x（2+x）=f（x），
故f(x)=

(x-2)(a-x)，x≥2 x(2-x)，0≤x＜2 -x(2+x)，-2＜x＜0 -(x+2)(a+x)，x≤-2

（Ⅱ）①a＞2時x≥2，f（x）=（x-2）（a-x），
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2，
∴(

a

2

-1)2＜1，
∴0＜a＜4，
∴2＜a＜4
②a≤2時，都滿足綜上，
所以 a∈（-∞，4）；
（Ⅲ）.當a≤2時，m=

3

4

或m=0；
當2＜a＜2+

3

時，m=

3

4

；此時f(

2+a

2

)＜

3

4

當a=4時，m=0，m=

3

4

或m=1；
當a＞

10+ 112

3

時，m=

3a2-20a+12

16

．此時m=f(

2+a

4

)＞1．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解及分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．