Question

已知偶函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足：當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試討論當(dāng)實(shí)數(shù)a、m滿(mǎn)足什么條件時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=f（x）的圖象恰有k個(gè)公共點(diǎn)（k≥3），
且這k個(gè)公共點(diǎn)均勻分布在直線y=m上．（不要求過(guò)程）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)x≤-2，則-x≥2，再設(shè)，設(shè)x∈（-2，0），則-x∈[0，2），再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求；
（Ⅱ）分a＞2與a≤2進(jìn)行討論可求；
（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行討論，綜合可得答案．

解答： （Ⅰ）．設(shè)x≤-2，則-x≥2，
∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵f（x）偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=（x+a）（-x-2）=-（x+2）（x+a），
設(shè)x∈（-2，0），則-x∈[0，2），
∴f（-x）=x（2+x）=f（x），
故f(x)=

(x-2)(a-x)，x≥2 x(2-x)，0≤x＜2 -x(2+x)，-2＜x＜0 -(x+2)(a+x)，x≤-2

（Ⅱ）①a＞2時(shí)x≥2，f（x）=（x-2）（a-x），
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2，
∴(

a

2

-1)2＜1，
∴0＜a＜4，
∴2＜a＜4
②a≤2時(shí)，都滿(mǎn)足綜上，
所以 a∈（-∞，4）；
（Ⅲ）.當(dāng)a≤2時(shí)，m=

3

4

或m=0；
當(dāng)2＜a＜2+

3

時(shí)，m=

3

4

；此時(shí)f(

2+a

2

)＜

3

4

當(dāng)a=4時(shí)，m=0，m=

3

4

或m=1；
當(dāng)a＞

10+ 112

3

時(shí)，m=

3a2-20a+12

16

．此時(shí)m=f(

2+a

4

)＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．