Question

19．已知分段函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+c（x≥0）}\end{array}\right.$．
（1）求實數c的值；
（2）當a=1時，求f[f（-1）]的值與函數f（x）的單調增區(qū)間；
（3）若函數f（x）有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數的兩段都取到x=0，列方程求出c；（2）利用復合函數的意義，求出f[f（-1）]的值，分段求單調增區(qū)間；（3）對a進行討論．

解答 解：（1）因為兩段都取到x=0，所以當x=0時的函數值相等，即2⁰=c，因此c=1
（2）因為a=1，所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\end{array}\right.$，所以$f[f（-1）]=f[\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$
由解析式可知：f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞）
（3）由解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+1（x≥0）}\end{array}\right.$知：
當x≤0時：函數沒有零點
當x≥0時：f（x）=（ax-1）（x-1），此時函數一定有一個零點x=1
令h（x）=ax-1，則函數h（x）要么沒有零點，要么有且只有一個零點x=1，而：
當a=0時，此函數沒有零點，符合題意
當a＜0時，此函數沒有零點，符合題意
當a＞0時，若a=1，此函數有且只有一個零點x=1，符合題意；其它取值都有不等于1的根，不符合題意
所以：當a∈（-∞，0]∪{1}時，函數f（x）有且只有一個零點

點評 本題主要考查分段函數的函數值、單調性和零點的問題，關鍵是分類討論思想，屬于中等題．