Question

若過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與圓C：x²+y²+2x-4y-11=0相交于兩點(diǎn)A、B，且∠ACB=90°（其中C為圓心）．
（Ⅰ）求直線l的方程，
（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C的圓中面積最小的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離公式，求解直線l的方程，
（Ⅱ）判斷經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C的圓中，以PC為直徑的圓的面積最小，然后求出圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：（x+1）²+（y-2）²=16，點(diǎn)C（-1，2），r=4，∴d=2

2

設(shè)直線l：y-1=k（x-2），所以d=2

2

=

|-3k-1|

k2+1

，∴k=1或k=-7（6分）
所以直線l的方程為：x-y-1=0或7x+y-15=0（8分）
（Ⅱ）由題意可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C的圓中，以PC為直徑的圓的面積最小，圓的圓心（

1

2

，

3

2

），
半徑為：

1

2

(-1- 1 2 )2+(2- 3 2 )2

=

5

2

，
所求圓的方程為(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線u圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．