Question

20．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PA上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，BE∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出PA⊥CD，AC⊥CD，從而CD⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面PCD．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)E為PA中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=BC=2，∵∠ABC=60°，AC⊥CD，
∴C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
B（2，0，0），P（0，0，2），設(shè)E（0，0，t），0≤t≤2，
$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，t），$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2），
設(shè)平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{4\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
∵BE∥平面PCD，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}$=-2+2t=0，解得t=1，
∴當(dāng)E為PA中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行時(shí)點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．