Question

10．已知曲線C上任意一點(diǎn)M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（$0，-\sqrt{3}）$，F(xiàn)₂（$0，\sqrt{3}）$，
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線$l：y=kx+\sqrt{3}$與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用曲線C上任意一點(diǎn)M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（$0，-\sqrt{3}）$，F(xiàn)₂（$0，\sqrt{3}）$，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得a=2，c=$\sqrt{3}$，
所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求橢圓C的方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
理由如下：
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程$y=kx+\sqrt{3}$代入$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，
并整理，得$（{k^2}+4）{x^2}+2\sqrt{3}kx-1=0$．（*）
則${x_1}+{x_2}=-\frac{{2\sqrt{3}k}}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{{{k^2}+4}}$．
因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$，
于是$-\frac{{1+{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{6{k^2}}}{{{k^2}+4}}+3=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．