Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x-2），g（x）=

2x-3

x-2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-1，5]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-1，5]上的根就是函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫圖觀察即可．

解答： 解：∵f(x)=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0]

，
∴y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，2）中心對(duì)稱，將函數(shù)向右平移2個(gè)單位再向右平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）在[-1，5]上的圖象，每段曲線不包含右端點(diǎn)（如下圖），
去掉端點(diǎn)后關(guān)于（2，2）中心對(duì)稱．
又∵g(x)=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

關(guān)于（2，2）中心對(duì)稱，故方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-1，5]上的根就是函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，共有三個(gè)交點(diǎn)，
自左向右橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，x₃，其中x₁和x₃關(guān)于（2，2）中心對(duì)稱，
∴，x₁+x₃=4，x₂=1，
故x₁+x₂+x₃=5
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，函數(shù)平移，零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題