Question

【題目】已知,函數(shù).

(Ⅰ)若有極小值且極小值為0 ,求的值；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，, 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，且為極小值，再根據(jù)極小值為0 ,求的值；當(dāng)時(shí)討論兩個(gè)零點(diǎn)大小，先確定極小值取法，再根據(jù)極小值為0 ,求的值；（2）先化簡不等式為，再對時(shí)，變量分離，轉(zhuǎn)化為討論對應(yīng)函數(shù)最值問題最小值，先根據(jù)與同號得>0，再根據(jù)放縮證明最小值恒大于零且趨于零，綜合可得的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ).

①若，則由解得,

當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)上，遞增；

故當(dāng)時(shí)，取極小值，令,得（舍去）.

②若，則由，解得.

(i)若，即時(shí)，當(dāng)，.遞增；當(dāng)上，遞減；當(dāng)上，遞增.

故當(dāng)時(shí)，取極小值，令，得（舍去）

（ii）若，即時(shí)，遞增不存在極值；

(iii)若，即時(shí)，當(dāng)上，遞增；，上，遞減；當(dāng)上，遞增.

故當(dāng)時(shí)，取極小值,得滿足條件.

故當(dāng) 有極小值且極小值為0時(shí),

(Ⅱ)方法一：等價(jià)于,

即，即 ①

當(dāng)時(shí)，①式恒成立；以下求當(dāng)時(shí)不等式恒成立,且當(dāng)時(shí)不等式恒成立時(shí)的取值范圍．

令,即，記.

(i)當(dāng)即時(shí)，是上的增函數(shù)，

所以,故當(dāng)時(shí)，①式恒成立；

(ii)當(dāng)即時(shí)，令,

若，即時(shí)，則在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),

其中,故在上有兩個(gè)零點(diǎn):

,

在區(qū)間和上， 遞增；在區(qū)間上，遞減；

故在區(qū)間上， 取極大值, ②

注意到，所以，所以,

注意到,在區(qū)間上， 遞增，所以,當(dāng)時(shí)，.

故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，而在區(qū)間上.

當(dāng)時(shí)，，也滿足當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故當(dāng)時(shí)，①式恒成立；

(iii)若，則當(dāng)時(shí)，，即，即當(dāng)時(shí)，①式不可能恒成立.

綜上所述, 所求的取值范圍是.

方法二：等價(jià)于， ③

當(dāng)時(shí)，③式恒成立；

當(dāng)時(shí)，③式等價(jià)于：，令，則,

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，③式恒成立；

以下證明:對任意的正數(shù),存在，使，取，則

，令，解得，即時(shí)，,

綜上所述, 所求的取值范圍是.