Question

過曲線y=

1

2

x³上的點（1，

1

2

）作曲線的切線m，則該切線m與圓O：x²+y²=1相交的弦長為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：先求出切線m的方程，再利用勾股定理，計算切線m與圓O：x²+y²=1相交的弦長．

解答： 解：由題意，點（1，

1

2

）為切點，則
∵y=

1

2

x³，
∴y′=

3

2

x²，
∴x=1時，y′=

3

2

，y=

1

2

，
∴切線m：y-

1

2

=

3

2

（x-1），即3x-2y-2=0，
∴圓心到直線的距離為

2

13

，
∴切線m與圓O：x²+y²=1相交的弦長為2

1- 4 13

=

6 13

13

．
故答案為：

6 13

13

．

點評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．