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【題目】已知關于 的函數 ,

(I)試求函數的單調區(qū)間;

(II)若在區(qū)間 內有極值,試求a的取值范圍;

(III) 時,若有唯一的零點 ,試求 .(注:為取整函數,表示不超過的最大整數,如 ;以下數據供參考:

【答案】(I)單調遞減區(qū)間;單調遞增區(qū)間;(II)f(x)在區(qū)間(0,1)內有極值,則a的取值范圍為.(III).

【解析】

(I)由題意的定義域為 ,對a分類討論:當a≥0時,當a<0時,即可得出單調性;
(II) , 所以的定義域也為,且,

h(x)=2x3-ax-2,x∈[0,+∞),h′(x)=6x2-a,當a<0時,可得:函數h(x)在(0,1)內至少存在一個變號零點x0,且x0也是f′(x)的變號零點,此時f(x)在區(qū)間(0,1)內有極值.當a≥0時,由于函數f(x)單調,因此函數f(x)無極值.

(III)a>0時,由(II)可知:f(1)=3x∈(0,1)時,f(x)>0,因此x0>1.f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上只有一個極小值點記為x1,由題意可知:x1即為x0.得到 ,即 ,消去可得: ,a>0,令 分別研究單調性即可得出x0的取值范圍.

(I)由題意的定義域為

(i)若,則上恒成立,為其單調遞減區(qū)間;

(ii)若,則由,

時,,時,,

所以為其單調遞減區(qū)間;為其單調遞增區(qū)間;

(II) 所以的定義域也為,

(*)

(**)

(i)當時, 恒成立,所以上的單調遞增函數,

,所以在區(qū)間存在唯一一個零點

由于上的單調遞增函數,所以在區(qū)間,

從而,所以此時在區(qū)間內有唯一極值且為極小值,適合題意,

(ii)當,即在區(qū)間(0,1)上恒成立,此時, 無極值.

綜上所述,若在區(qū)間內有極值,則a的取值范圍為.

(III) ,由(II)且, .

由(**)式知,。

由于,所以

又由于,

所以

亦即 ,

從而得

所以,,

從而,又因為有唯一的零點,所以 即為,

消去a,得

時令,

則在區(qū)間上為單調遞增函數, 為單調遞減函數,

練習冊系列答案
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1)假設有5份血液樣本,其中只有2份為陽性,若采取逐份檢驗方式,求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率;

2)現取其中份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的次數為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為.

i)試運用概率統(tǒng)計知識,若,試求P關于k的函數關系式;

ii)若,采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少,求k的最大值.

參考數據:,,

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【題目】某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊進行調查,40歲以上調查了50人,不高于40歲調查了50人,所得數據制成如下列聯表:

不喜歡西班牙隊

喜歡西班牙隊

總計

40歲以上

50

不高于40

15

35

50

總計

100

已知工作人員從所有統(tǒng)計結果中任取一個,取到喜歡西班牙隊的人的概率為,則有超過________的把握認為年齡與西班牙隊的被喜歡程度有關.

參考公式與臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.702

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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