Question

為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域DFEBC內(nèi)修建一個(gè)矩形PQRC的草坪，并建立如圖平面直角坐標(biāo)系，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．
（1）求直線EF的方程；
（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大？并求最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，直線EF過點(diǎn)E（30，0），F(xiàn)（0，20），其方程由截距式可得；
（2）點(diǎn)Q在直線EF上，可設(shè)點(diǎn)Q(x，20-

2

3

x)，矩形PQRC的面積S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]，計(jì)算S取最大值時(shí)對應(yīng)的x的值，從而得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答： 解：（1）如圖，在線段EF上任取一點(diǎn)Q，分別向BC，CD作垂線，
由題意，直線EF的方程為：

x

30

+

y

20

=1，即2x+3y-60=0．…（4分）
（2）設(shè)Q(x，20-

2

3

x)，則長方體的面積S=(100-x)[80-(20-

2

3

x)](0≤x≤30)，
化簡后得S=-

2

3

x2+

20

3

x+6000(0≤x≤30)，配方后易得x=5，y=

50

3

時(shí)，S最大，
其最大值為6016

2

3

m2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查配方法求函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，正確表達(dá)出矩形PQCR的面積是解題的關(guān)鍵．