Question

數(shù)列{a_n}定義如下：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，n=1，2，…，若a_m＞2+

2011

2012

，則正整數(shù)m的最小值為（　�。�

• A、4025
• B、4250
• C、3650
• D、4425

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，
∴（n+2）a_n+2=2（n+1）a_n+1-na_n，
即（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
即數(shù)列{（n+1）a_n+1-na_n}是常數(shù)列，當n=1時（n+1）a_n+1-na_n=2a₂-a₁=2×2-1=3，
即（n+1）a_n+1-na_n=3，
即數(shù)列{na_n}是公差d=3的等差數(shù)列，首項為1a₁=1，
則na_n=1+3（n-1）=3n-2，
則a_n=

3n-2

n

=3-

2

n

，
若a_m＞2+

2011

2012

，
則3-

2

m

＞2+

2011

2012

，
即

2

m

＜

1

2012

，
則m＞4024，
∵m是整數(shù)，
∴m≥4025，
故正整數(shù)m的最小值為4025，
故選：A

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用，根據(jù)條件構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項公式是解決本題的關(guān)鍵．運算量較大，綜合性較強，