在四邊形ABCD中，已知AB=9，BC=6，
CP
=2
PD
．
（1）若四邊形ABCD是矩形，求
AP
•
BP
的值；
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，且
AP
•
BP
=6，求
AB
與
AD
夾角的余弦值．
考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由條件求出|
CP
|=6，|
DP
|=3，再用向量AB，AD表示向量AP，BP，再將數(shù)量積
AP
•
BP
展開(kāi)，運(yùn)用向量的平方為模的平方以及
AB
•
AD
=0，即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)
AB
與
AD
夾角為θ，根據(jù)得到的數(shù)量積
AP
•
BP
，運(yùn)用數(shù)量積定義，代入數(shù)據(jù)，即可求出cosθ．
解答： 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴
AB
⊥
AD
，即
AB
•
AD
=0，
又AB=9，BC=6，
CP
=2
PD
，
∴|
CP
|=6，|
DP
|=3，
∵
AP
=
AD
+
DP
=
AD
+
1
3
AB
，
BP
=
BC
-
PC
=
AD
-
2
3
AB
，
∴
AP
•
BP
=（
AD
+
1
3
AB
）•（
AD
-
2
3
AB
）
=
AD
2-
1
3
AB
•
AD
-
2
9
AB
2
=62-
2
9
×92=18；
（2）設(shè)
AB
與
AD
夾角為θ，由（1）得，
AP
•
BP
=（
AD
+
1
3
AB
）•（
AD
-
2
3
AB
）
=
AD
2-
1
3
AB
•
AD
-
2
9
AB
2
=62-
1
3
×9×6•cosθ-
2
9
×92=6，
∴cosθ=
2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩向量的數(shù)量積的定義，考查向量的平方等于模的平方，以及向量共線、垂直的條件，考查向量的運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log 
1
2
（
m-cosx
3+cosx
）在R上的值域?yàn)閇-1，1]，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（-2，
3
），橢圓3x2+4y2=48的右焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)，當(dāng)|AP|+2|PF|取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（　�。�
A、（0，2
3
）
B、（0，-2
3
）
C、（2
3
，
3
）
D、（-2
3
，
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題正確的是（　�。�
A、a∥b，a⊥α⇒a⊥b
B、a⊥α，b⊥α⇒a∥b
C、a⊥α，a⊥b⇒b∥α
D、a∥α，a⊥b⇒b⊥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=lgx+x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（　�。�
A、（1，2）
B、（3，4）
C、（2，3）
D、（0，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=
2
，PB=1，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面ADP⊥平面DEF；
（Ⅱ）在線段AE上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-DF-E的大小為60°，若存在求出EM：MA，若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}中，a1＞1，公比q＞0，設(shè)bn=log2an，且b3=2，b5=0
（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn及{an}的通項(xiàng)an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（
x
a
-1）2+（
b
x
-1）2，其中x∈（0，+∞），設(shè)t=
x
a
+
b
x

（1）當(dāng)a=1，b=4時(shí)，用t表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（2）設(shè)k＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+1）2時(shí)，若1≤f（x）≤9對(duì)任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面PAB．

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同步練習(xí)冊(cè)答案