Question

對?x，y∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，f（1）=a（a為大于0的常數(shù)），已知a_n=f（n）（n∈N^*），則下列結(jié)論一定正確的是（　　）

• A、數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列
• B、數(shù)列{lga_n}為等比數(shù)列
• C、數(shù)列{e an}為等差數(shù)列
• D、數(shù)列{e an}為等比數(shù)列

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)抽象函數(shù)，令y=1，則f（x+1）=f（x）+1+a，結(jié)合等差數(shù)列的定義，構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行判斷．

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，f（1）=a（a為大于0的常數(shù)），
∴令y=1，則f（x+1）=f（x）+f（1）+1=f（x）+1+a，
∵a_n=f（n）（n∈N^*），
∴f（n+1）=f（n）+1+a，
即a_n+1-a_n=1+a，
即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為a，公差d=1+a，
則a_n=a+（n-1）（1+a）=（1+a）n-1，
則

ean

ean-1

=ean-an-1=e^1+a為常數(shù)，
則數(shù)列{e an}為等比數(shù)列，
故選：D

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷和應(yīng)用，利用抽象函數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．