Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差數(shù)列{b_n}的任一項b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小數(shù)，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通項公式；
（3）設數(shù)列{c_n}滿足c_n+2-c_n=a₁，且c₁=c，c₂=a₂-c，若數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項公式

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+3x的圖象上，可得Sn=n2+3n，再寫一式，兩式相減，結(jié)合n=1時，a₁=S₁=4，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；                                             
（2）先確定數(shù)列{b_n}的公差是4 的倍數(shù)，根據(jù)A∩B中的最小數(shù)為6，可得b₈=4k+6，利用88＜b₈＜93，可得k的值，進而可求等差數(shù)列{b_n}的公差，從而可得{b_n}的通項公式；
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即數(shù)列{c_2k-1}和{c_2k}分別是以c₁=c，c₂=6-c為首項，4為公差的等差數(shù)列，利用數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，建立不等式，即可求得實數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+3x的圖象上，∴Sn=n2+3n．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2，
當n=1時，a₁=S₁=4，也滿足上式．
故a_n=2n+2．                                                   
（2）∵A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即數(shù)列{b_n}的公差是4 的倍數(shù)
又A∩B中的最小數(shù)為6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴

88＜4k+6＜93 k∈N*.

，解得k=21．                                  
設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₈=6+7d=90得d=12
故b_n=12n-6
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即數(shù)列{c_2k-1}和{c_2k}分別是以c₁=c，c₂=6-c為首項，4為公差的等差數(shù)列
所以c_2k-1=c+4k-4，c_2k=c₂+4（k-1）=4k-c+2，c_2k+1=4k+c
∵數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴c_2k-1＜c_2k＜c_2k+1對任意的k∈N^*成立．
∴

c+4k-4＜4k-c+2 4k-c+2＜4k+c

，解得1＜c＜3
∴實數(shù)c的取值范圍是1＜c＜3

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．