Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2（S_n+1）=3a_n（n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

2n

an

，{bn}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題

分析：（1）當n=1時，得到a₁=s₁=2，當n≥2時，得到2（S_n+1）=3a_n，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）bn=

2n

an

=n×3^1-n，利用錯位相減法求數(shù)列的通項．

解答： 解：（1）當n=1時，得到a₁=s₁=2，當n≥2時，得到2（S_n+1）=3a_n①，2（S_n-1+1）=3a_n-1②
①-②得：a_n=3a_n-1，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=2×3^n-1；
（2）bn=

2n

an

=n×3^1-n，
∴T_n=1×3⁰+2×3^-1+…+n×3^1-n，①
∴

1

3

T_n=1×3^-1+2×3^-2+…+n×3^-n，②
①-②可得：

2

3

T_n=1+3^-1+3^-2+…+3^1-n-n×3^-n，
∴

2

3

T_n=

3

2

+

1

2

×3^1-n-n×3^-n，
∴T_n=

9

4

+

3

4

×3^1-n-

3

2

×n×3^-n．

點評：本題是一道利用數(shù)列的遞推式歸納出數(shù)列的通項公式的規(guī)律型的題，考查學生會根據(jù)首項和公比求等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和．