Question

如圖1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，設(shè)AE=2x，CF=CP=x，0＜x＜

5

2

，將△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小為

π

2

，連接A₁B、A₁P（如圖2）．
（1）求證：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）當(dāng)EF⊥平面A₁EB時(shí)，求平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題

分析：（1）證明PF∥平面A₁EB，利用線面平行的判定定理，證明PF∥BE即可；
（2）若EF⊥平面A₁EB，則EF⊥AE，∠AEF=90°，從而可得

AE

AF

=cos60°，故可求x的值；
（3）證明EF，BE，A₁E兩兩互相垂直，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，確定

BE

=(-3，0，0)是平面A₁EF的一個(gè)法向量，平面A₁BP的法向量

n

=（

2

3

，

2 3

9

，1），利用向量的數(shù)量積即可求平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）解：若EF⊥平面A₁EB，則EF⊥AE，∠AEF=90°
∵∠EAF=60°，∴

AE

AF

=cos60°
∴

2x

5-x

=

1

2

，∴x=1
（3）解：∵二面角A₁-EF-B的大小為

π

2

，且EF⊥平面A₁EB，
∴EF⊥BE，A₁E⊥EF，平面A₁EF∩平面BEF=EF
∴A₁E⊥平面BEF
∵BE?平面BEF
∴A₁E⊥BE
∴EF，BE，A₁E兩兩互相垂直
以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知得，BE=1，A₁E=2，PF=FC=PC=1，EF=2

3

∴E（0，0，0），A₁（0，0，2），B（3，0，0），P（1，2

3

，0），F(xiàn)（0，2

3

，0）
∴

A1B

=(1，0，-2)，

BP

=(-2，2

3

，0)
∴

BE

=(-3，0，0)是平面A₁EF的一個(gè)法向量
設(shè)平面A₁BP的法向量為

n

=(x，y，1)，則

n • A1B =0 n • BP =0

，∴

3x-2=0 -2x+2 3 y=0

，∴

n

=（

2

3

，

2 3

9

，1）
∴平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值為

2

3 4 9 + 4 27 +1

=

2 129

43

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于圖形的翻折問題，關(guān)健是利用翻折前后的不變量，二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點(diǎn)之一．是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)之一