Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M為PB的中點，D為AB的中點，且△AMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若BC=4，PB=10，求點B到平面DCM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）要證BC⊥平面PAC，只需證明BC與平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、PC垂直，利用直線與平面垂直的判定定理證明即可；
（2）解法一：通過BC=4，PB=10，利用等體積法V_M-BCD=V_B-MCD，即可求解點B到平面DCM的距離．
解法二：過點B作直線CD的垂線，交CD的延長線于點H，證明BH⊥平面DCM．說明BH為點B到平面DCM的距離，一是利用等面積法求解，二是利用解直角三角形求解．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：在正△AMB中，D是AB的中點，∴MD⊥AB．…（1分）
∵M是PB的中點，D是AB的中點，∴MD∥PA，故PA⊥AB．…（2分）
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．…（4分）
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．…（5分）
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（7分）
（2）解法1：設點B到平面DCM的距離為h，…（8分）
∵PB=10，M是PB的中點，∴MB=5．
∵△AMB為正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×BC×AC=

1

2

×

1

2

×4×3=3．…（10分）
∵MD=

52-( 5 2 )2

=

5 3

2

，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=

1

2

AB=

5

2

，
∴S△MCD=

1

2

×MD×CD=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

．…（11分）
∵V_M-BCD=V_B-MCD，…（12分）
∴

1

3

S△BCD•MD=

1

3

S△MCD•h，
即

1

3

×3×

5 3

2

=

1

3

×

25 3

8

×h．…（13分）
∴h=

12

5

．
故點B到平面DCM的距離為

12

5

．…（14分）
解法2：過點B作直線CD的垂線，交CD的延長線于點H，…（8分）
由（1）知，PA⊥平面ABC，MD∥PA，
∴MD⊥平面ABC．
∵BH?平面ABC，∴MD⊥BH．
∵CD∩MD=D，∴BH⊥平面DCM．
∴BH為點B到平面DCM的距離．…（9分）
∵PB=10，M是PB的中點，∴MB=5．
∵△AMB為正三角形，∴AB=MB=5．…（10分）
∵D為AB的中點，∴CD=BD=

5

2

．
以下給出兩種求BH的方法：
方法1：在△BCD中，過點D作BC的垂線，垂足為點E，
則DE=

1

2

AC=

3

2

．…（11分）
∵

1

2

×CD×BH=

1

2

×BC×DE，…（12分）
∴BH=

BC×DE

CD

=

4× 3 2

5 2

=

12

5

．
方法2：在Rt△BHD中，BH2+DH2=BD2=

25

4

．          ①…（11分）
在Rt△BHC中，∵BC=4，
∴BH²+CH²=BC²，
即BH2+(DH+

5

2

)2=16．                          ②…（12分）
由①，②解得BH=

12

5

．
故點B到平面DCM的距離為

12

5

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判斷與證明，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．