Question

已知橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)之和為1+

5

，離心率為

2 5

5

．   
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若C（l，0），過(guò)B（-1，0）作直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且

CM

•

CN

=2，求△MNC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)之和為1+

5

，離心率為

2 5

5

，建立方程組，求出a，b，即可得出橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)

CM

•

CN

=2，利用向量的數(shù)量積公式．利用韋達(dá)定理求出k，利亞△MNC的面積為

1

2

•2|y₁-y₂|，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)之和為1+

5

，離心率為

2 5

5

，
∴

a+b=1+ 5 a2-b2 a2 = 4 5

，
∴a=

5

，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

5

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè) M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），則
直線l斜率不存在時(shí)，x=-1代入橢圓方程，可得M（-1，

2 5

5

），N（-1，-

2 5

5

），
∴

CM

•

CN

=（-2，

2 5

5

）•（-2，-

2 5

5

）=4-

4

5

≠2；
直線l斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y并化簡(jiǎn)整理（1+5k²）x²+10k²x+5k²-5=0，
∴x₁+x₂=-

10k2

1+5k2

，x₁x₂=

5k2-5

1+5k2

，
∵C（l，0），
∴

CM

•

CN

=（x₁-1，y₁）•N （x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²=2，
∴（1+k²）•

5k2-5

1+5k2

+（k²-1）（-

10k2

1+5k2

）+1+k²=2，
∴k=±1，
∴x₁+x₂=-

10k2

1+5k2

=-

5

3

，x₁x₂=

5k2-5

1+5k2

=0，
∴|y₁-y₂|=|k||x₁-x₂|=

5

3

，
∴△MNC的面積為

1

2

•2|y₁-y₂|=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．