Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，π]上最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）逆用倍角公式及兩角和的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出x+

π

4

的范圍，求出

2

2

sin(x+

π

4

)的范圍，進(jìn)出得出函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

+

1

2

cosx-

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2π]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，π]，∴x+

π

4

∈[0，

5π

4

]
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1
∴-

1

2

≤

2

2

sin(x+

π

4

)≤

2

2

∴函數(shù)f（x）在[-

π

4

，π]上最大值為

2

2

，最小值為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式及兩角和差公式的逆用以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是利用公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式．