2.若對于任意實數(shù)x∈[3,2010],任意實數(shù)t∈[1,2],不等式(x+$\frac{9}{x}$)+(2t2-t-m)≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+$\frac{9}{x}$,g(t)=-2t2+t+m,由題意轉(zhuǎn)化為f(x)min>g(t)max,利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)min,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出g(t)max,問題得以解決.

解答 解:(x+$\frac{9}{x}$)+(2t2-t-m)≥0,
∴x+$\frac{9}{x}$≥-2t2+t+m,
分別設(shè)f(x)=x+$\frac{9}{x}$,g(t)=-2t2+t+m,
∵對于任意實數(shù)x∈[3,2010],任意實數(shù)t∈[1,2],不等式(x+$\frac{9}{x}$)+(2t2-t-m)≥0恒成立,
∴對于任意實數(shù)x∈[3,2010],任意實數(shù)t∈[1,2],f(x)min≥g(t)max,
∴f′(x)=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$,
∴當(dāng)x∈[3,2010],f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在[3,2010]為增函數(shù),
∴f(x)min=f(3)=3+3=6,
∵g(t)=-2t2+t+m,開口向下,對稱軸為t=$\frac{1}{4}$,
∴g(t)在[1,2]為減函數(shù),
∴g(t)max=g(1)=-2+1+m=m-1,
∴6≥m-1,
∴m≤7,
∴實數(shù)m的取值范圍為(-∞,7]

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識.

練習(xí)冊系列答案
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