【題目】某個(gè)地區(qū)計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水的年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：十億立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過12的年份有35年，超過12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過12的概率；

（2）若水的年入流量與其蘊(yùn)含的能量（單位：百億萬焦）之間的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如下表所示：

年入流量

6

8

10

12

14

蘊(yùn)含的能量

1.5

2.5

3.5

5

7.5

用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（回歸方程系數(shù)用分?jǐn)?shù)表示）

（3）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：

年入流量

發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)

1

2

3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

附：回歸方程系數(shù)公式：，.

【答案】（1）（2）（3）欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

【解析】

（1）計(jì)算得到，，，再計(jì)算概率得到答案.

（2）利用回歸方程公式直接計(jì)算得到答案.

（3）計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

（1）依題意，，，

.

由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過12的概率為.

（2），，，，，，

所以關(guān)于的線性回歸方程為.

（3）記水電站年總利潤為（單位：萬元）.

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫年入流量總大于4，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤，

.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此.由此得的分布列如下：

4200

10000

0.2

0.8

所以，.

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此.由此得的分布列如下：

3400

9200

15000

0.2

0.7

0.1

所以，.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品具有60個(gè)月的時(shí)效性，在時(shí)效期內(nèi)，企業(yè)投入50萬元經(jīng)銷該產(chǎn)品，為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得利潤的10%再投入到次月的經(jīng)營中，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品的第個(gè)月的利潤是（單位：萬元），記第個(gè)月的當(dāng)月利潤率為，例.

（1）求第個(gè)月的當(dāng)月利潤率；

（2）求該企業(yè)在經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個(gè)月的當(dāng)月利潤率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤率.

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【題目】設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線，

（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；

（2）若，弦AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.

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【題目】某種質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，將這個(gè)玩具拋擲次，記第次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標(biāo)的數(shù)字為，數(shù)列的前和為．記是3的倍數(shù)的概率為．

（1）求，；

（2）求．

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【題目】隨著智能手機(jī)的發(fā)展，各種“APP”（英文單詞Application的縮寫，一般指手機(jī)軟件）應(yīng)運(yùn)而生．某機(jī)構(gòu)欲對(duì)A市居民手機(jī)內(nèi)安裝的APP的個(gè)數(shù)和用途進(jìn)行調(diào)研，在使用智能手機(jī)的居民中隨機(jī)抽取100人，獲得了他們手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）從被抽取安裝APP的個(gè)數(shù)不低于50的居民中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步調(diào)研，求這2人安裝APP的個(gè)數(shù)都低于60的概率；

（Ⅲ）假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，以本次被抽取的居民情況為參考，試估計(jì)A市使用智能手機(jī)的居民手機(jī)內(nèi)安裝APP的平均個(gè)數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）．

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【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為，且短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在直線，使得交橢圓于兩點(diǎn)，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求的方程，并說明是什么曲線；

（2）若，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測試，根據(jù)測試成績評(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示：

等級(jí)

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（Ⅰ）求， ， 的值；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人這任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效.若，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？

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【題目】如圖，在南北方向有一條公路，一半徑為100的圓形廣場（圓心為）與此公路所在直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)為北半圓�。ɑ�）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，計(jì)劃在內(nèi)（圖中陰影部分）進(jìn)行綠化，設(shè)的面積為（單位：），

（1）設(shè)，將表示為的函數(shù)；

（2）確定點(diǎn)的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積．

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