Question

17．已知f（x）=ln（x+a）-$\frac{1}{2}$ax²，a∈R，求f（x）單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：f（x）=ln（x+a）-$\frac{1}{2}$ax²的定義域?yàn)椋?a，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-ax=-$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-1}{x+a}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，∵△=a⁴+4a＞0，
令f′（x）=0，解得x₁=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，
若x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$≥-a，解得a≤0，不成立，
x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＜-a，解得a＞0，成立，
∵x₁=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＞-a，
∴-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＜-a＜-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-a＜x＜-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，+∞）單調(diào)遞增，在（-a，-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及分類(lèi)討論的思想，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．