Question

9．求證：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

Answer 1

分析 引入輔助函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由導(dǎo)數(shù)證明其在[1，+∞）上為增函數(shù)，得到f（$\frac{n}{n-1}$）＞0，即$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，則數(shù)列不等式得證．

解答 解：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，則${f}^{′}（x）=\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}+ln\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}-\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=1nn．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的求和，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造出增函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是中檔題．