Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 為曲線在點(diǎn)處的切線．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．

（Ⅲ）設(shè)， ， ，且滿足，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo),再求的值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率即為.由點(diǎn)斜式可得直線方程.（Ⅱ）即證明， 恒成立.變形可得即證恒成立即可.令求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)單調(diào)性可求其最值,其最大值小于0即可.（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)由（Ⅱ）可知.當(dāng)中至少有一個(gè)大于等于時(shí),可用配方法求各自值域再相加.

試題解析：解：（Ⅰ） .

所以.

所以 L的方程為，即． 3分

（Ⅱ）要證除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方，只需證明， 恒成立.

因?yàn)?/span>，

所以只需證明， 恒成立即可． 5分

設(shè)

則.

令，解得， . 6分

當(dāng)在上變化時(shí)， 的變化情況如下表

所以， 恒成立. 8分

（Ⅲ）（ⅰ）當(dāng)且時(shí)，

由（Ⅱ）可知： ，

， .

三式相加，得.

因?yàn)?/span>，

所以，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 11分

（ⅱ）當(dāng)中至少有一個(gè)大于等于時(shí)，

不妨設(shè)，則，

因?yàn)?/span>， ，

所以．

綜上所述，當(dāng)時(shí)取到最大值. 14分