Question

設(shè)無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且a_n＞0（n∈N^*），[a_n]表示不超過實(shí)數(shù)a_n的最大整數(shù)（如[2.5]=2），記b_n=[a_n]，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ）若a₁=14，q=

1

2

，求T₃；
（Ⅱ）證明：S_n=T_n（n=1，2，3，…）的充分必要條件為a_n∈N^*；
（Ⅲ）若對(duì)于任意不超過2014的正整數(shù)n，都有T_n=2n+1，證明：（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b₁=14，b₂=7，b₃=3，由此能嫠出T₃．
（Ⅱ）先證明充分性，由an∈N*，推導(dǎo)出S_n=T_n．再證明必要性：對(duì)于任意的n∈N^*，S_n=T_n，推導(dǎo)出對(duì)一切正整數(shù)n都有an∈N*．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014）．a(chǎn)₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014），q＜1，q2012≥

2

a2

＞

2

3

，由此能證明（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．

解答： （Ⅰ）解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=14，q=

1

2

，
∴a₁=14，a₂=7，a₃=3.5．…（1分）
∴b₁=14，b₂=7，b₃=3．…（2分）
∴T₃=b₁+b₂+b₃=24．…（3分）
（Ⅱ）證明：（充分性）∵an∈N*，
∴b_n=[a_n]=a_n 對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=T_n．…（5分）
（必要性））∵對(duì)于任意的n∈N^*，S_n=T_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=S₁，b₁=T₁，得a₁=b₁； …（6分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，得a_n=b_n．
對(duì)一切正整數(shù)n都有a_n=b_n．…（7分）
由 bn ∈Z，a_n＞0，得對(duì)一切正整數(shù)n都有an∈N*．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵T_n=2n+1（n≤2014），
∴b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014）．…（9分）
∵b_n=[a_n]，
∴a₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（10分）
由 q=

a2

a1

，得q＜1．…（11分）
∵a2014=a2q2012∈[2，3），
∴q2012≥

2

a2

＞

2

3

，
∴

2

3

＜q2012＜1，即（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前3項(xiàng)和的求法，考查等式成立的充要條件的證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．