Question

已知定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2）．當x∈[0，2）時f（x）=-x²+2x．設f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n，且數列{a_n}的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

S_n=

 

．（其中n∈N^*）

Answer 1

考點：極限及其運算

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：由函數關系式f（x）=3f（x+2），結合f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n可知數列{a_n}是以

1

3

為公比的等比數列，再由當x∈[0，2）時f（x）=-x²+2x求出首項，代入等比數列的前n項和公式求得數列{a_n}的前n項和為S_n，則其極限可求．

解答： 解：∵定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=

1

3

f（x），
就是函數自變量每向右移2個單位，函數值變?yōu)樵瓉淼?span id="84dyf1n" class="MathJye">

1

3

，
∵f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n，且x∈[0，2）時f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，q=

1

3

，
∴數列{a_n}是以1為首項，以

1

3

為公比的等比數列，
則Sn=

1×(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
∴

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查函數的運算性質，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于由函數關系式得到數列遞推式，考查了數列極限的求法，是中檔題．