Question

已知等比數列{a_n}滿足：a₂=4，公比q=2，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=

4

3

b_n-

2

3

a_n+

2

3

，求通項b_n．

Answer 1

考點：等比數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：根據等比數列的通項公式求出a_n，然后利用b_n和S_n的關系，建立方程即可得到結論．

解答： 解：∵等比數列{a_n}滿足：a₂=4，公比q=2，
∴a_n=a₂q^n-2=4×2^n-2=2ⁿ，
則S_n=

4

3

b_n-

2

3

a_n+

2

3

=

4

3

b_n-

2

3

•2ⁿ+

2

3

，
當n=1時，b1=

4

3

b1-

4

3

+

2

3

，
得b₁=2，
當n≥2時，Sn-1=

4

3

bn-1-

2n

3

+

2

3

，
兩式相減得，bn=4bn-1+2n+1-2n=4bn-1+2n，
整理得bn+2n=4(bn-1+2n-1)，
即數列{b_n+2ⁿ}是公比q=4的等比數列，
首項為2+2=4，
∴b_n+2ⁿ=4•4^n-1=4ⁿ，
∴bn=4n-2n，n∈N^•

點評：本題主要考查等比數列的應用，利用b_n和S_n的關系，結合構造法是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，難度較大．