Question

16．已知在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{a_n}中，a₂與a₈的等比中項(xiàng)為8，則4a₃+a₇取最小值時(shí)首項(xiàng)a₁=2．

Answer 1

分析 由題意可得a₅=8，可得4a₃+a₇=$\frac{32}{{q}^{2}}$+8q²，由基本不等式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．

解答 解：由題意知a₂a₈=8²=${a}_{5}^{2}$，∴a₅=8，
設(shè)公比為q（q＞0），則4a₃+a₇=$\frac{4{a}_{5}}{{q}^{2}}$+a₅q²
=$\frac{32}{{q}^{2}}$+8q²≥2$\sqrt{\frac{32}{{q}^{2}}•8{q}^{2}}$=32，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{32}{{q}^{2}}$=8q²，即q²=2時(shí)取等號，
此時(shí)a₁=$\frac{{a}_{5}}{{q}^{4}}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．