Question

18．已知0＜a＜b，且a+b=1，則下列不等式中，正確的是（　　）

• A． log₂a＞0
• B． 2^a-b$＜\frac{1}{2}$
• C． log₂a+log₂b＜-2
• D． 2${\;}^{\frac{a}+\frac{a}}$$＜\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分別根據(jù)對(duì)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式即可比較大�。�

解答 解：由0＜a＜b，且a+b=1，
∴l(xiāng)og₂a＜log₂1=0，故A錯(cuò)誤，
由0＜a＜b，且a+b=1
∴-1＜a-b＜0，
∴2^a-b＞2^-1=$\frac{1}{2}$，故B錯(cuò)誤，
∵a+b=1＞2$\sqrt{ab}$，
∴ab＜$\frac{1}{4}$，
∴l(xiāng)og₂a+log₂b=log₂ab＜log₂$\frac{1}{4}$=-2，故C正確，
∵$\frac{a}$+$\frac{a}$＞2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，
∴2${\;}^{\frac{a}+\frac{a}}$＞2²=4，故D錯(cuò)誤，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，屬于中檔題．