Question

16．已知A，B，C三點不共線，A，B，D三點共線，$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，則△CDB面積和△CDA的面積之比為1：1．

Answer 1

分析 根據(jù)A，B，D三點共線，得出t+（2+t）=1，求出t的值，化簡$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，D是AB的中點，即可求出面積比是多少．

解答 解：∵A，B，D三點共線，且$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，
∴t+（2+t）=1，
解得t=-$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$），
即$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$；如圖所示，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，即BD=AD；
∴△CDB的面積和△CDA的面積之比為1：1．
故答案為：1：1．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，解題的關鍵是利用三點共線求出t的值，化簡$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出D是AB的中點，是綜合性題目．