Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（2^x-1）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函數(shù)的定義域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意，2^x-1＞0，從而解出f（x）的定義域；
（2）討論a與1的大小關系，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵2^x-1＞0，
∴2^x＞1=2⁰，
∵f（x）=2^x在R上是增函數(shù)，
∴f（x）的定義域為{x|x＞0}．
（2）∵f（x）＞0，
①當a＞1時，f(x)=loga(2x-1)在R上是增函數(shù)，
且f(x)=loga(2x-1)＞loga1，
∴2^x-1＞1，
∴x的取值范圍為（1，+∞），
②當0＜a＜1時，
同上，x的取值范圍為（0，1），
綜上述：當a＞1時，x的取值范圍為（1，+∞）；
當0＜a＜1時，x的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，重點考查了對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應用，屬于基礎題．