Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄=2a₃，S₂=6．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式由已知條件求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由

a4=2a3 S2=6

，得

a1q3=2a1q2 a1+a1q=6

…（2分）
解得

q=2 a1=2

…（4分）
所以an=a1qn-1=2n．…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，…（8分）
所以Tn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）…（9分）
=

2(1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

=2n+1+

n(n+1)

2

-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，注意分組求和法的合理運(yùn)用．