Question

已知圓A過點P（

2

，

2

），且與圓B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x-y+2=0對稱．
（1）求圓A和圓B方程；   
（2）求兩圓的公共弦長；
（3）過平面上一點Q（x₀，y₀）向圓A和圓B各引一條切線，切點分別為C、D，設

QD

QC

=2，求證：平面上存在一定點M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設出圓心坐標，利用圓與圓B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x-y+2=0對稱，求出圓心坐標，再代入P的坐標，即可得出圓A的方程；
（2）求出兩圓的公共弦方程，可得（0，0）到兩圓的公共弦的距離，即可求出兩圓的公共弦長；
（3）利用

QD

QC

=2，確定Q（x₀，y₀）的軌跡方程，結(jié)合距離公式可得結(jié)論．

解答： （1）解：設圓A的圓心A（a，b），由題意得：

b-2 a+2 •1=-1 a-2 2 - b+2 2 +2=0

解得

a=0 b=0

，
設圓A的方程為x²+y²=r²，將點P（

2

，

2

）代入得r=2，
∴圓A的方程為：x²+y²=4，圓B的方程為：（x+2）²+（y-2）²=4；
（2）解：由圓A和圓B方程，可得兩圓的公共弦方程為x-y+2=0，
（0，0）到兩圓的公共弦的距離為

2

2

=

2

，
∴兩圓的公共弦長為2

4-2

=2

2

；
（3）證明：由題設得QD=2QC，即

QB2-4

=2

QA2-4

，
∴（x₀+2）²+（y₀-2）²-4=4（x₀²+y₀²-4），
∴（x₀-

2

3

）²+（y₀+

2

3

）²=

68

9

，
∴存在定點M（

2

3

，-

2

3

）使得Q到M的距離為定值

2 17

3

．

點評：本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學分析解決問題的能力，屬于中檔題．