Question

在等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn)．將梯形繞旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)根據(jù)題意,由于即由已知可知 平面平面,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理得到.
(2)結(jié)合題意,得到面平面,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618511496.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以 平面 從而得到證明.
(3)

試題分析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618589714.png" style="vertical-align:middle;" />，是的中點(diǎn)
所以，又
所以四邊形是平行四邊形，所以
又因?yàn)榈妊�梯形�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618698697.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以 ，所以四邊形是菱形，所以

所以，即
由已知可知 平面平面，
因?yàn)?平面平面
所以平面                  4分
（2）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618651592.png" style="vertical-align:middle;" />，，
 
所以平面平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618511496.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以 平面              8分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015618948422.png" style="vertical-align:middle;" />平面,同理平面，建立如圖如示坐標(biāo)系
設(shè)，
則,, ，，       9分
則，
設(shè)平面的法向量為，有 ，得  
設(shè)平面的法向量為，有
得                                    12分
所以                                 13分
由圖形可知二面角為鈍角
所以二面角的余弦值為．                       14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了線面平行以及面面平行的性質(zhì)定理的運(yùn)用,以及二面角的求解,屬于基礎(chǔ)題.