Question

已知向量

a

與

b

的夾角為θ，|

a

|=2，|

b

|=

3

．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求（(

a

-

b

)•(

a

+2

b

)的值；
（2）當(dāng)θ=

5π

6

時(shí)，求|2

a

-

b

|+(

a

+

b

)•(

a

-

b

)的值；
（3）定義

a

?

b

=|

a

|²-√3

a

•

b

，

a

?

b

≥7，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由向量

a

與

b

的夾角為θ，|

a

|=2，|

b

|=

3

．利用數(shù)量積的定義可得：

a

•

b

=|

a

| |

b

|cosθ=2

3

cosθ．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，cosθ=±1．利用數(shù)量積運(yùn)算可得（(

a

-

b

)•(

a

+2

b

)=

a

2-2

b

2+

a

•

b

，代入即可．
（2）當(dāng)θ=

5π

6

時(shí)，cosθ=-

3

2

，利用數(shù)量積性質(zhì)|2

a

-

b

|+(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

4 a 2+ b 2-4 a • b

+

a

2-

b

2即可得出．
（3）利用新定義

a

?

b

≥7化為|

a

|2-

3

a

•

b

≥7，代入即可化為cosθ≤-

1

2

，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵向量

a

與

b

的夾角為θ，|

a

|=2，|

b

|=

3

．
∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cosθ=2

3

cosθ．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，cosθ=±1
．∴（(

a

-

b

)•(

a

+2

b

)=

a

2-2

b

2+

a

•

b

=22-2×(

3

)2±2

3

=-2±2

3

；
（2）當(dāng)θ=

5π

6

時(shí)，
|2

a

-

b

|+(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

4 a 2+ b 2-4 a • b

+

a

2-

b

2
=

4×22+( 3 )2-4×2 3 ×cos 5π 6

+22-(

3

)2
=

31

+1；
（3）∵

a

?

b

=|

a

|²-√3

a

•

b

，
∴

a

?

b

≥7化為|

a

|2-

3

a

•

b

≥7，
∴22-

3

×2×

3

cosθ≥7，
化為cosθ≤-

1

2

，
∵θ∈[0，π]，
∴

2π

3

≤θ≤π．
∴θ的取值范圍是[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及其新定義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．