Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2

2

，側(cè)棱長為4，點E、F分別是棱AB、BC的中點，EF與BD交于點G
（1）求異面直線D₁E和DC所成角的正切值；
（2）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）在正四棱柱中，異面直線D₁E和DC所成的角，即D₁E和AB所成的角，然后通過解直角三角形求解；
（2）證平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只需證明EF垂直于平面BDD₁B₁，由正四棱柱的性質(zhì)即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AD₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD．
∴平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD₁A₁．
∴AB⊥AD₁．
由已知AD=2

2

，DD₁=4，
∴AD₁=

AD2+DD12

=2

6

．
而AE=

2

，
∴tan∠ADE₁=

AD1

AE

=2

3

．
∵CD∥AB．
∴DC與D₁E所成的角就是AB與D₁E所成的角，即∠D₁EA．
∴直線DC與D₁E所成的角為arctan2

3

；
（Ⅱ）連結(jié)AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．
又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁．
∵EF?平面EFB₁．
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

點評：本題考查了異面直線所成的角，考查了面與面的垂直，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．