Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點． （I）證明：AE⊥PD；
（II）H是PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角為45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°， 得△ABC為正三角形，因為E為BC的中點，所以AE⊥BC，
又BC∥AD，因此AE⊥AD，
因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE，
而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，
∴∠AHE是EH與平面PAD所成的角，
由于AE為定值，∴當AH最小時，∠AHE最大
此時AH⊥PD，∠AHE=45°
設(shè)AB=2a，則AE= ，AH=AE= ，
∵ ，∴ADPA=PDAH，2a ，
∴PA=2 ，
以 、 、 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，2 ），E（ ，0，0），C（ ，a，0），F(xiàn)（ ， ， ），
設(shè)平面AFC的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，
即 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，0），
設(shè)平面AEF的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，
即 ，取z=1，得 =（0，﹣2 ，1），
cos＜ ＞= = = ，
tan＜ ＞= = ，
∴二面角E﹣AF﹣C的正切值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出△ABC為正三角形，從而AE⊥BC，推導出AE⊥AD，PA⊥AE，由此能證明AE⊥PD． （Ⅱ）推導出∠AHE是EH與平面PAD所成的角，當AH最小時，∠AHE最大，此時AH⊥PD，∠AHE=45°，以 、 、 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的正切值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能正確解答此題．