Question

18．已知f（x）對任意x∈[0，+∞），都有f（x+1）=-f（x），當x∈[0，1）時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=f（x）-${log}_{{a}^{（x+1）}}$（0＜a＜1）在區(qū)間[0，6]上有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$）
• B． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$）
• C． （0，$\frac{1}{7}$）
• D． （$\frac{1}{5}$，1）

Answer 1

分析 由題意，作出函數(shù)y=f（x）在[0，6]的圖象，轉化函數(shù)g（x）=f（x）-${log}_{{a}^{（x+1）}}$（0＜a＜1）的零點為圖象的交點，從而求解．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x），
對任意x都有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）=1]=-f（x+1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若函數(shù)g（x）=f（x）-${log}_{{a}^{（x+1）}}$（0＜a＜1）
在區(qū)間[0，6]上有3個零點，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象恰有3個交點，
又由x∈[0，1），f（x）=x，
當x∈[1，2）時，x-1∈[0，1），即有f（x-1）=x-1=-f（x），
即為f（x）=1-x．
在同一坐標系可作出函數(shù)y=f（x）
與y=log_a（x+1）（0＜a＜1）在[0，6]的圖象如右：
由圖可知：函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象有3個交點時，
當y=log_a（x+1）過（4，-1）時，即有l(wèi)og_a5=-1，解得a=$\frac{1}{5}$；
當y=log_a（x+1）過（6，-1）時，即有l(wèi)og_a7=-1，解得a=$\frac{1}{7}$．
由圖象可得a的范圍是$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{5}$．
故選A．

點評 本題考查函數(shù)方程的轉化思想，考查函數(shù)的周期性的運用，同時考查函數(shù)的解析式的求法和對數(shù)的運算性質，運用數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．