Question

19．已知拋物線C₁：x²=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，C₁與C₂的公共弦的長為2$\sqrt{6}$，過點(diǎn)F的直線l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與C₂相交于C，D兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$同向．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過C₁方程可知a²-b²=1，通過C₁與C₂的公共弦的長為2$\sqrt{6}$且C₁與C₂的圖象都關(guān)于y軸對稱可得$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{^{2}}=1$，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），通過$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，設(shè)直線l方程為y=kx+1，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）由C₁方程可知F（0，1），
∵F也是橢圓C₂的一個(gè)焦點(diǎn)，∴a²-b²=1，
又∵C₁與C₂的公共弦的長為2$\sqrt{6}$，C₁與C₂的圖象都關(guān)于y軸對稱，
∴易得C₁與C₂的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{^{2}}=1$，
又∵a²-b²=1，
∴a²=9，b²=8，
∴C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$同向，且|AC|=|BD|，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，∴x₁-x₂=x₃-x₄，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，

設(shè)直線l的斜率為k，則l方程：y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-4kx-4=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（9+8k²）x²+16kx-64=0，
由韋達(dá)定理可得x₃+x₄=-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，
又∵（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，
∴16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}{k}^{2}}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4×64}{9+8{k}^{2}}$，
化簡得16（k²+1）=$\frac{1{6}^{2}×9（{k}^{2}+1）}{（9+8{k}^{2}）^{2}}$，
∴（9+8k²）²=16×9，解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即直線l的斜率為±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．