Question

13．已知函數(shù)$f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1$，且$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若條件$p：f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1，\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$；條件q：|f（x）-m|＜2，且p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由x的范圍可得；
（2）解絕對值不等式可得m-2＜f（x）＜m+2，由p是q的充分條件可得$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞5}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，解不等式組可得．

解答 解：（1）由題意和三角函數(shù)公式化簡可得
f（x）=$4×\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=-2cos（$\frac{π}{2}$+2x）-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
由三角函數(shù)的最值可得
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）_max=5，
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）_min=3；
（2）∵|f（x）-m|＜2，∴m-2＜f（x）＜m+2，
又∵p是q的充分條件，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞5}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，
解得3＜m＜5

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換以及最值，涉及簡易邏輯的應用，屬基礎題．