Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB⊥AD，DC⊥AD，AB=AD=2，DC=1．側(cè)面正△PAD所在平面與底面垂直．
（1）求證：AC⊥PB．
（2）在棱PB上取一點(diǎn)E，使直線PD∥平面ACE．
①求

PE

EB

的值；
②求證：二面角P-AC-D與E-AC-B大小相等．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取AD中點(diǎn)O，由已知條件得PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，連結(jié)OB，設(shè)OB∩AC=H，由已知條件推導(dǎo)出△BAO≌△ADC，由此能夠證明AC⊥PB．
（Ⅱ）①連結(jié)BD交AC于F，連結(jié)EF，由已知條件推導(dǎo)出PD∥EF，由此能求出

PE

EB

的值．
②由已知條件推導(dǎo)出∠PHO，∠EHB分別是二面角P-AC-D與E-AC-B的平面角，由此能證明二面角P-AC-D與E-AC-B大小相等．

解答： （1）證明：取AD中點(diǎn)O，則PO⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
連結(jié)OB，設(shè)OB∩AC=H，
∵AB=AD=2，DC=1，O是AD中點(diǎn)，AB⊥AD，DC⊥AD，
∴△BAO≌△ADC，
∴∠CAD=∠OBA，
∴∠CAD+∠AOB=∠OBA+∠AOB=90°，
∴∠AHO=90°，∴CA⊥PO，
∴CA⊥平面POB，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）①解：連結(jié)BD交AC于F，連結(jié)EF，
則EF是平面PBD與平面ACE的交線，
∵直線PD∥平面ACE，
∴PD∥EF，
∴

PE

EB

=

DF

FB

=

DC

AB

=

1

2

．
②證明：∵CA⊥面POB，
∴∠PHO，∠EHB分別是二面角P-AC-D與E-AC-B的平面角，
作EG⊥OB于G，在Rt△OAB中，

OH

HB

=

AO2

AB2

=

1

4

，
∴OH=

1

5

OB，HB=

4

5

OB，
又GB=

2

3

OB，
∴HG=HB-GB=

2

15

OB，
∴

HG

OH

=

2 15 OB

1 5 OB

=

2

3

=

EG

PO

，
∴tan∠PHO=tan∠EHG，
∴二面角P-AC-D與E-AC-B大小相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查兩條線段的比值的求法，考查兩二面角相等的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．