Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其長軸長為2

2

，直線l₁：y=-1與C只有一個(gè)公共點(diǎn)A₁，直線l₂：y=1與C只有一個(gè)公共點(diǎn)A₂． 
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是l₁上（除A₁外）的動點(diǎn)，連結(jié)A₂P交橢圓于另外一點(diǎn)B，連結(jié)OP交橢圓于C，D兩點(diǎn)（C在D的下方），直線A₁B，A₁C，A₁D分別交直線l₂于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若|EF|，|A₂F|，|GF|成等差數(shù)列，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)長軸長為2

2

，直線l₁：y=-1與C只有一個(gè)公共點(diǎn)A₁，直線l₂：y=1與C只有一個(gè)公共點(diǎn)A₂，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（t，-1），則直線A₂P的方程，求出B的坐標(biāo)，再求出E的坐標(biāo)，確定直線A₁C、A₂D的方程，令y=1，確定F，G的坐標(biāo)，利用|EF|，|A₂F|，|GF|成等差數(shù)列，結(jié)合C在直線OP上，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（I）由題意得：a=

2

，b=1，
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1…（4分）
（II）設(shè)P（t，-1），則直線A₂P的方程為：y=-

2

t

x+1…（5分）
聯(lián)立

y=- 2 t x+1 x2 2 +y2=1

消去y，得(

4

t2

+

1

2

)x2-

4

t

x=0…（7分）
解得B(

8t

8+t2

，

-8+t2

8+t2

)…（8分）
直線A₁B方程為y=

t

4

x-1，令y=1，得x=

8

t

，得E(

8

t

，1)…（9分）
又直線OP的方程為y=-

1

t

x
C，D關(guān)于O（0，0）中心對稱，可設(shè)C（x₁，y₁），D（-x₁，-y₁），
直線A₁C、A₂D的方程分別為y=

y1+1

x1

x-1，y=

1-y1

-x1

x-1，
令y=1，得F(

2x1

y1+1

，1)，G(

-2x1

1-y1

，1)…11分
∴|EF|=

8

t

-

2x1

y1+1

，|A₂F|=-

2x1

y1+1

，|GF|=

-2x1

1-y1

-

2x1

y1+1

，…（12分）
∵|EF|，|A₂F|，|GF|成等差數(shù)列，
∴

8

t

-

2x1

y1+1

+

-2x1

1-y1

-

2x1

y1+1

=-

4x1

y1+1

，
化簡得：

8

t

=

2x1

1-y1

…..①…（13分）
又C在直線OP上，所以y1=-

1

t

x1…..②
聯(lián)立①、②解得x1=

4t

t2-4

，y1=

-4

t2-4

…（14分）
又C（x₁，y₁）在橢圓上，代入橢圓方程得

8t2

(t2-4)2

+

16

(t2-4)2

=1，解得：t=±4（15分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．