Question

3．如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道，某公園P位于商業(yè)中心北偏東θ角（0＜θ＜$\frac{π}{2}$，tanθ=3$\sqrt{3}$），且與商業(yè)中心O的距離為$\sqrt{21}$公里處，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處，當(dāng)商業(yè)中心O到A，B兩處的距離之和最小時(shí)，A，B的距離為3$\sqrt{3}$公里．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系．設(shè)P（m，n），依題意可先求出P的坐標(biāo)，設(shè)A（a，0），進(jìn)而表示直線AB，OB的方程，從而可求出OA+OB，利用基本不等式，即可確定A，B的位置，最后利用余弦定理即可求解

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系．設(shè)P（m，n），
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，tanθ=3$\sqrt{3}$
∴$cosθ=\frac{\sqrt{7}}{14}$，sin$θ=\frac{3\sqrt{21}}{14}$
則m=OPsinθ=$\sqrt{21}×\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{9}{2}$，n=OPcos$θ=\sqrt{21}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由題意可得，OB=2x_B，直線OB的方程為y=$\sqrt{3}$x①
設(shè)A（a，0），則直線AB的方程：$y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{9}{2}-a}（x-a）$②
聯(lián)立①②可得，${x}_{B}=\frac{a}{2（a-4）}$=$\frac{2}{a-4}+\frac{1}{2}$
∴OA+OB=a+2x_B=a+$\frac{2}{a-4}+\frac{1}{2}$=a-4+4+$\frac{4}{a-4}+1$=a-4+$\frac{4}{a-4}$+5≥2$\sqrt{（a-4）•\frac{4}{a-4}}+5$=9
當(dāng)且僅當(dāng)即a=6時(shí)取等號(hào)，此時(shí)OA=6，OB=3，
△OAB中，由余弦定理可得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OBcos60°}$
=$\sqrt{36+9-2×6×3×\frac{1}{2}}$=$3\sqrt{3}$
故答案為：$3\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題