Question

15．函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，且其圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，則f（$\frac{π}{2}$）=（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由周期求得ω，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得所得函數(shù)為y=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ）關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，求得φ的值，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），從而得解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，f（x）=sin（2x+φ）．
把函數(shù)f（x）的圖象圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位后得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為
y=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
由2x+$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，可求函數(shù)的對稱軸為：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}-\frac{1}{2}$φ，k∈Z
再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，
∴$\frac{π}{2}$=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}-\frac{1}{2}$φ，k∈Z，可解得：φ=k$π-\frac{2π}{3}$，k∈Z
結(jié)合，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（$\frac{π}{2}$）=sin（π$+\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．