Question

設等差數(shù)列{a_n}，已知a₅=-3，S₁₀=-40
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{abn}為等比數(shù)列，且b₁=5，b₂=8，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁、公差為d，依題意a₅=-3，S₁₀=-40，可求得a₁=5，d=-2，于是可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由題意可求得等比數(shù)列{abn}的通項公式abn=（-3）×3^n-1=-3ⁿ，又abn=7-2b_n，于是可得b_n=

7

2

+

3n

2

，再分組求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁、公差為d，
∵a₅=-3，S₁₀=-40，
∴

a1+4d=-3 10a1+ 10×9 2 d=-40

解得：a₁=5，d=-2．
∴a_n=7-2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=7-2n，又數(shù)列{abn}為等比數(shù)列，且b₁=5，b₂=8，
∴q=

ab2

ab1

=

a8

a5

=

7-2×8

7-2×5

=3，
又ab1=a₅=7-2×5=-3，
∴abn=（-3）×3^n-1=-3ⁿ，又abn=7-2b_n，
∴7-2b_n=-3ⁿ，
∴b_n=

7

2

+

3n

2

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

7n

2

+

1

2

（3+3²+…+3ⁿ）
=

7n

2

+

1

2

•

3(1-3n)

1-3

=

7n

2

+

3n+1-3

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的確定，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合應用能力，（Ⅱ）中求得b_n=

7

2

+

3n

2

是關(guān)鍵，屬于難題．