Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$），|$\overrightarrow$|=2，求滿足下列條件的$\overrightarrow$的坐標(biāo)．
（1）$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$（2）$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出向量$\overrightarrow$的坐標(biāo)，由|$\overrightarrow$|=2以及$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，列出方程組求出$\overrightarrow$的坐標(biāo)；
（2）由|$\overrightarrow$|=2和$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，列出方程組求出$\overrightarrow$的坐標(biāo)即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow$=（x，y），
∵|$\overrightarrow$|=2，∴x²+y²=4①；
又向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$），
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時(shí)，
$\sqrt{3}$x+$\sqrt{5}$y=0②；
由①、②組成方程組，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時(shí)，
$\sqrt{3}$y-$\sqrt{5}$x=0③；
由①、③組成方程組，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的模長(zhǎng)與平行和垂直的坐標(biāo)表示問題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．