Question

4．過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F₁，且方向向量為$\overrightarrow{v}$=（1，1）的直線與該橢圓相交于點(diǎn)P、Q，P的坐標(biāo)是（-4，-1），求此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及線段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)左焦點(diǎn)F₁（-c，0），橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由直線的方向向量可得斜率為1，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式可得c=3，代入P的坐標(biāo)，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程，再由直線y=x+3，代入橢圓方程，求得Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)左焦點(diǎn)F₁（-c，0），又P（-4，-1），
由題意可得${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{4-c}$=1，解得c=3，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
代入P的坐標(biāo)，可得$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又a²-b²=9，
解方程可得a=3$\sqrt{2}$，b=3，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
直線PQ的方程為y=x+3，
代入橢圓方程可得，3x²+12x=0，
即有x=0或-4，即P（-4，-1），Q（0，3），
|PQ|=$\sqrt{（-4-0）^{2}+（-1-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法和弦長(zhǎng)的求法，考查待定系數(shù)法和聯(lián)立直線方程和橢圓方程求交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．