Question

下列命題中，真命題是（　　）

• A、存在x₀∈R，sin²

  x0

  2

  +cos²

  x0

  2

  =

  1

  2

• B、任意x∈（0，π），sinx＞cosx
• C、任意x∈（0，+∞），x²+1＞x
• D、存在x₀∈R，x₀²+x₀=-1

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A、B的正誤；利用作差法可判斷C、D的正誤，從而可得答案．

解答： 解：A，∵sin²

x0

2

+cos²

x0

2

=1，故不存在x₀∈R，使得sin²

x0

2

+cos²

x0

2

=

1

2

，即A錯誤；
B，x=

π

6

∈（0，π），但sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

，故B錯誤；
C，∵x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，故任意x∈（0，+∞），x²+1＞x，正確；
D，∵x₀²+x₀+1=(x0+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，故不存在x₀∈R，使得x₀²+x₀=-1，即D錯誤；
綜上所述，真命題是C．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查推理、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．