Question

已知定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)f（x）=

2x+b

x2+1

為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)b的值．
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）+f（-x）=0，由此可求得b值，
（2）由（1）中解析式，利用導(dǎo)數(shù)法法，可得函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0，
即

2x+b

x2+1

+

-2x+b

(-x)2+1

=

2x+b

x2+1

+

-2x+b

x2+1

=

2b

x2+1

=0，
解得b=0，
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增，
理由如下：
由（1）得f（x）=

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

=

2(-x2+1)

(x2+1)2

，
當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．